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Вступление
[Chords]
Bm x24432
D xx0232
Em 022000
F# 244322
Gmaj7 35443x
F#7 242322
[Chorus]
BmGmaj7
3,14 und so weiter ist eine Zahl namens Pi und Pi ist irrational.
DF#7
Es gibt unendlich viele Nachkommastellen bei dieser Zahl, denn Pi ist irrational.
BmGmaj7
Und der Beweis des Ganzen ist nun wirklich nicht trivial, doch es gilt ohne Zweifel: Pi ist irrational.
DF#7
Zum Beweisen brauchen wir Ableitung und Integral und dann zeigen wir: Pi ist irrational.
[Verse 1]
Bm
Nehmen wir mal das Gegenteil an:
Gmaj7
Dass man Pi vielleicht ja doch als Bruch natürlicher Zahlen schreiben kann,
Em
wie a geteilt durch b und mal seh'n, wie's weiter geht:
F#
Wie wär's mit Pi hoch n mal a hoch n durch n Fakultät?
[Verse 2]
Bm
Hm. Da wächst der Nenner durch die Fakultät
D
sogar schneller als der Zähler und für große n geht es,
Em
dass der ganze Bruch dann kleiner wird als 1 durch Pi
F#
und so wählen wir uns das n und jetzt definiert
[Verse 3]
Bm
man f(x) als x hoch n mal a minus bx hoch n
D
durch die Fakultät von n und jetzt können wir erkennen:
Em
Zwischen 0 und Pi ist f und auch der Sinus jeweils positiv,
F#
also ist auch das Produkt wieder positiv
[Verse 4]
Bm
und x ist kleiner als Pi, a-bx ist kleiner als a,
D
der Sinus ist kleiner gleich 1 und dann steht auch noch n Fakultät da
Em
und das Ganze haben wir kleiner als 1 durch Pi konstruiert,
F#
was sich als gut erweist, wenn man Sinus mal f integriert,
[Verse 5]
Bm
denn dieses Integral ist kleiner als das mit 1 durch Pi,
D
aber das ist genau 1, wie man relativ leicht sieht
Em
und das Produkt ist größer 0 und damit auch das Integral,
F#
aber was uns das jetzt bringt? Naja, schau'n wir mal...
[Chorus]
BmGmaj7
3,14 und so weiter ist eine Zahl namens Pi und Pi ist irrational.
DF#7
Es gibt unendlich viele Nachkommastellen bei dieser Zahl, denn Pi ist irrational.
BmGmaj7
Und der Beweis des Ganzen ist nun wirklich nicht trivial, doch es gilt ohne Zweifel: Pi ist irrational.
DF#7
Zum Beweisen brauchen wir Ableitung und Integral und dann zeigen wir: Pi ist irrational.
[Verse 6]
Bm
Sieht man sich das f genau an,
D
dann sieht man, dass man das hoch n hier ausmultiplizieren kann
Em
und das wird 'ne Summe, bei deren Summanden ich erkenn':
F#
Das sind ganze Zahlen mal x mit Exponent bis zu n
[Verse 7]
Bm
und nehm ich das mal x hoch n, kann ich weiter erkenn':
D
Die Exponenten laufen jetzt von n an bis zu 2n
Em
und da die Fakutät konstant ist und ich sonst alles addiere,
F#
kann ich auf jeden Summanden einzeln seh'n, wenn ich diferenziere
[Verse 8]
Bm
und mit jeder Ableitung kommt der Exponent als Faktor davor
D
und wird dann um 1 kleiner und jetzt stell' dir vor,
Em
was passiert, wenn man weniger als n-mal die Ableitung macht.
F#
Dann steht überall noch das x und das hat uns gebracht,
[Verse 9]
Bm
dass wenn wir 0 einsetzen, dann hier 0 raus kommt
D
und die Frage ist, was bei der n-ten Ableitung raus kommt,
Em
denn da verschwindet dann das x in dem allerersten Term,
F#
doch durch n-maliges Ableiten kann man sich erklären,
[Verse 10]
Bm
dass hier insgesamt n Fakultät als Faktor steht,
D
was man mit dem Nenner kürzt und, wenn ich 0 einsetze, steht
Em
hier eine ganze Zahl und macht man das Ganze mal
F#
auch bis zur (2n)-ten Ableitung, dann wird ganz schnell klar:
[Verse 11]
Bm
das sind alles ganze Zahlen und leite ich dann noch weiter ab,
D
ist es so, dass ich echt nur noch 0 hab
Em
und das Ganze geht genauso auch an der Stelle Pi,
F#
denn f ist symmetrisch, was man relativ leicht sieht,
[Verse 12]
Bm
wenn man in f einfach Pi minus x einsetzt
D
und bisschen umformt, denn dann sieht man nämlich jetzt:
Em
Das ist f(x) und daher die Symmetrie.
F#
Vielleicht brauchen wir das noch, man weiß ja nie.
[Verse 13]
Bm
Erstmal schau'n wir, was mit diesem Integral passiert,
D
wenn man es direkt lösen will und partiell integriert.
Em
Man nimmt für eine der Funktionen eine Stammfunktion
F#
und bildet das Produkt mit der anderen Funktion
[Verse 14]
Bm
minus das Integral von der Stammfunktion
D
mal die Ableitung der anderen Funktion.
Em
Und setzt man hier vorn die Integralgrenzen ein,
F#
dann merkt man: Das müssen ganze Zahlen sein
[Verse 15]
Bm
und nimmt für eine der Funktionen wieder 'ne Stammfunktion
D
und bildet das Produkt mit der anderen Funktion
Em
minus das Integral von der Stammfunktion
F#
mal die Ableitung der anderen Funktion.
[Verse 16]
Bm
Und setzt man hier vorn die Integralgrenzen ein,
D
dann merkt man: Das müssen ganze Zahlen sein
Em
und so weiter. Wenn man das (2n+1)-mal macht,
F#
dann hat man es durch die Ableitungen beim f soweit geschafft,
[Verse 17]
Bm
dass nur noch 0 da steht und dann fällt der Rest weg.
D
Also hat man dann hier insgesamt entdeckt:
Em
Dieses Integral ist immer eine ganze Zahl,
F#
doch warte mal, wir hatten dieses Integral schon mal!
[Verse 18]
Bm
Im ersten Teil hatten wir doch eindeutig gezeigt:
D
Dieses Integral liegt zwischen 0 und 1,
Em
aber das kann ja nicht sein und da gibt's nur einen Schluss:
F#
Die Annahme, Pi wäre rational ist einfach Stuss!
[Verse 19]
Bm
Das führt zu Widersprüchen, also ist das Gegenteil wahr.
D
Pi ist irrational. Was zu beweisen war.
EF#
Ja, alles klar?
[Chorus]
BmGmaj7
3,14 und so weiter ist eine Zahl namens Pi und Pi ist irrational.
DF#7
Es gibt unendlich viele Nachkommastellen bei dieser Zahl, denn Pi ist irrational.
BmGmaj7
Und der Beweis des Ganzen ist nun wirklich nicht trivial, doch es gilt ohne Zweifel: Pi ist irrational.
DF#7
Zum Beweisen brauchen wir Ableitung und Integral und dann zeigen wir: Pi ist irrational.
